Talteori

Musikken og matematikken følges ad i middelalderen, og simple talforhold danner udgangspunktet for toneintervaller og harmonierne i de polyfoniske kompositioner, og det er forhold, som jeg kommer til at beskæftige mig en del med i det følgende. I middelalderen er det helt naturligt, at der knyttes en forbindelse mellem videnskab og kunst; idet det er Gud, der har skabt mennesket, og alt det som mennesket møder i sit liv, så kirken forsøgte, at forstå sammenhængene og dermed, at indse Guds storhed. Talmystikken strækker sig dog tilbage til 500 år før Kristus, idet Pythagoras angives som ophavsmand for sammenhængen mellem en svingende strenges længder og de musiske intervaller.

For eksempel var det allerede i den tidlige middelalder kendt, at de musiske intervaller kunne beskrives ved simple talforhold og, at de forskellige intervaller var knyttet samme gennem simple regneregler.

     1:1   Unison
     2:1   Oktav         = kvint og kvart               2:1  = (3:2)*(4:3)
     3:2   Kvint         = stor terts og lille terts    3:2  = (5:4)*(6:5)
     4:3   Kvart
     5:4   Stor terts
     6:5   Lille terts
     9:8   Stor sekund   = kvint op og kvart ned        9:8  = (3:2)/(4:3)
    16:15  Lille sekund  = kvart op og stor terts ned  16:15 = (4:3)/(5:4)

Den mest fornemme harmoni bliver unison hvor alle stemmer er ens, og ideelt skal en komposition starte og slutte unisont med en gradvis udvikling gennem satsen til et højdepunkt mellem start og slut. Efter den unisone stemme kommer på harmoniens anden plads stemmer forskudt en oktav, som typisk optræder når mænd og drengesopraner synger sammen, og tilsvarende når mænd og kvinder synger sammen (udenfor kirken, forstås). På tredje og fjerde pladsen kommer stemmer med en indbyrdes afstand på en kvint eller en kvart. Stemmer med mindre afstand, terts og sekund, blev anset for at være dissonante, men tertsen kan dog accepteres inde i satsforløbet. Den ideale komposition skulle derfor starte unisont, udvikle sig til en mangfoldig polyfoni, og til endelig tynde ud til en unison slutning. Det er en kompositionsform der tydeligt ses i værker af renæssancekomponisten Giovanni Pierluigi da Palestrina (1525–1594), der danner afslutning på en lang historisk udvikling af den polyfone sang.

Diatonisk skala

Der er et gennemgående system i talrækken, som kan ses hvis vi interesserer os for talforholdet. De to første tal i rækken, 1 og 2, danner talforholdet 2:1, hvor øverste tone skrives til venstre for kolon og nederste tone skrives til højre. Kolon kan læses som en brøkstreg, så vi beregner talforholdet mellem den høje tones frekvens og den lave tones frekvens. Talforholdet bliver det samme hvis vi tager udgangspunkt i tonernes frekvenser, fx a1 = 440 Hz og a2 = 880 Hz, hvor vi finder 880:440 = 2:1. Det første talforhold giver altså oktaven og tilsvarende gælder for talforholdet mellem fjerde og anden harmoniske idet 4:2 = 2:1. Talforholdet findes også mellem ottende og fjerde harmoniske idet 8:4 = 2:1, og så videre.

    1               2       3       4   5   6   7   8 9 10 ...      16 ...
    C               c       g       c1  e1  g1  b1  c2              c3
    | --- Oktav --- | --- Oktav --- | --- Oktav --- | --- Oktav --- |
    |      2:1      | Kvint | Kvart | Kvint | Kvart | Kvint | Kvart |
                       3:2     4:3  |StT|LlT|       |StT|LlT|       |
                                     5:4  6:5       |S|
                                                    9:8

Oktaven med harmoniske fra nummer 2 til 4 kan deles i to intervaller da der er et "mellemtal" på harmoniske nummer 3. Det første interval går fra 2 til 3, det har talforholdet 3:2, og kaldes for en kvint. Af den tidligere skala kan vi se, at tonen netop er et g, hvis grundtonen er et C. Den anden sektion i oktaven går fra 3 til 4, den har talforholdet 4:3, og kaldes for en kvart. Fra musikken ved vi, at en kvint efterfulgt af en kvart danner en oktav, og matematikken viser dette ved produktet af talforholdene.

    Kvint + Kvart = Oktav
     3:2  *  4:3  = 2:1
Det samme resultat får vi ved den næste oktav med harmoniske fra nummer 4 til 8, idet kvinten er 6:4 = 3:2, og kvarten er 8:6 = 4:3. Talrækken 4, 5 og 6 kan deles ved tallet 5, til en stor terts på 5:4, og en lille terts på 6:5. Og ligesom før kan kvinten konstrueres ud fra en stor terts og en lille terts.

    Stor terts + Lille terts = Kvint
        5:4    *    6:5      = 3:2

Næste oktav fra harmoniske nummer 8 til 16 kan underkastes samme behandling idet intervallet fra 8 til 16 danner en kvint (12:8 = 3:2) og en kvart (16:12 = 4:3), en stor terts (10:8 = 5:4) og en lille terts (12:10 = 6:5). Dertil kommer, at den store terts igen kan deles ved det mellemliggende tal til en stor sekund på 9:8, der dog er ret stor, så det andet interval på 10:9 er også en kandidat til betegnelsen stor sekund, og de forskellige stemningsprincipper placerer den store sekund i området mellem de to. Den lille sekund findes mellem harmoniske 15 og 16, som forholdet 16:15, og genfindes mellem e og f, som (4:3):(5:4) = 16:15.

Sammenfatter vi resultatet indtil nu, så har vi følgende intervaller.

    Eksempel Interval      Forhold  Talforhold
    ------------------------------------------
    C  - C   Prim          1:1      1,0000
    C  - c   Oktav         2:1      2,0000
    c  - g   Kvint         3:2      1,5000
    g  - c1  Kvart         4:3      1.3333...
    c1 - e1  Stor terts    5:4      1,2500
    e1 - g1  Lille terts   6:5      1,2000
    c2 - d2  Stor sekund   9:8      1,1250
    d2 - e2  Stor sekund  10:9      1,1111...
    h2 - c2  Lille sekund 16:15     1,0666...

Med dette materiale er de fleste toner i den diatoniske række defineret, vi mangler blot tonerne for a og h. Tonen for a kan beregnes som stor terts over f, som igen er en kvart over c, det vil sige (5:4)*(4:3) = 5:3. Tilsvarende kan h beregnes som en stor terts over g, som igen er en kvint over c, det vil sige (5:4)*(3:2) = 15:8. Det giver os de ofte sete definitioner af tonerne for en renstemt skala i C, som gengives nedenfor. Intervallet a-h skal være en stor sekund, og det ses at være opfyldt, idet (15:8)/(5:3) = 45:40 = 9:8. Samme interval findes ved at gå en kvint op (c-g) og en kvart ned (g-d), idet (3:2)/(4:3) = 9:8. Tertserne c-e, f-a og g-h er rene store tertser, kvinten på e-h er ren, og vi genfinder den lille sekund for e-f som (4:3)/(5:4) = 16:15.

    C   D   E   F   G   A   H   C
    1  9:8 5:4 4:3 3:2 5:3 15:8 2

Men der er nogle problemer. Tonen a kan også beregnes som kvint over d, som igen er stor sekund over c, det vil sige (3:2)*(9:8) = 27:16 = 1,6875, men det er ikke helt det tal vi kom frem til før, idet 5:3 = 1,6666...; det er tæt på, men fejlen er 1,23 %, og det svarer til en femtedel halvtone. Konklusionen er, at kvinten på d-a ikke er ren, den er (5:3)/(9:8) = 40:27 = 1,4814..., og det er hørbart mindre end den rene kvint, faktisk så meget, at intervallet er aldeles ubrugeligt.

De små sekunder er begge på 16:15, som det ses af beregningen nedenfor, men de store sekunder ikke er ens, de skifter mellem de to muligheder:

    c-d:               =  9:8   Stor sekund I
    d-e:  (5:4)/(9:8)  = 10:9   Stor sekund II
    E-f:  (4:3)/(5:4)  = 16:15  Lille sekund
    f-g:  (3:2)/(4:3)  =  9:8   Stor sekund I
    g-a:  (5:3)/(3:2)  = 10:9   Stor sekund II
    a-h: (15:8)/(5:3)  =  9:8   Stor sekund I
    h-c:    (2)/(15:8) = 16:15  Lille sekund

For at få et overblik over den rene stemning, vises renheden i skemaet , for derved at kunne afgøre akkordernes brugbarhed. Det ses, at C-akkorderne er rene i både dur og mol, mens kun G-dur er ren fordi den lille terts er meget for lav, og D-akkorderne er ubrugelige på grund af ulv-kvinten. Jeg har medtaget de "sorte tangenter" ved at stemme b som kvint under f og resten af tonerne som rene store tertser; det er et valg, og ikke den eneste mulighed der vises.

Ren stemning ud fra C:
Ren Kvint = 3:2
Stor terts = 5:4
Lille terts = 6:5
Stor sekund = 9:8
Lille sekund = 16:15

Alle intervaller regnes ud fra den anførte grundtone og afvigelsen udtrykkes i procent afvigelse fra det rene interval for kvinter (blå), store tertser (røde) og små tertser (violet). Man kan betragte 1 % som grænsen for kassation af tertser mens kvinten er mere følsom. Desuden vises sekund intervallet (grøn) for at få et overblik over trinstørrelse, med stor sekund for eb-f til a-h og lille sekund for e-f til g#-a.

Konsekvensen af den "rene" stemning er, at man har gode akkorder på C, Cm, E, Em, F, G, A, Am og Hm, mens akkorderne på D, Dm, Fm, Gm og H bliver ubrugelige. Af akkorder med grundtone på de "sorte" tangenter er det kun C#m der kan anvendes. Der er følgelig mulighed for at spille en tonal kadance i C-dur (C-F-G-C) og det er så det.

Problemerne med de falske kvinter og tertser er der ingen løsning på. Vil man spille i en renstemt skala i C, så vil flere af akkorderne være urene. Stemmer man rent i en anden toneart, så flytter problemet med, nu blot mellem nogle andre toner. Hvad man har gjort i den tidlige periode af orglets og cembaloets udvikling, kan man kun gætte på. Der kommer et bud på dette senere, men først skal vi have undersøgt de toner de mangler i den renstemte skala; det der svarer til de sorte tangenter i et klaver.

Pythagoras komma (kvint)

Pythagores menes at have dannet tonerne i den diatoniske skala (c-d-e-f-g-a-h) ud fra gentagne brug af kvinten. Med udgangspunkt i en stemmetone er det let at se hvordan processen forløber. Benytter vi fx tonen a, har vi under den fire rene kvinter til d, g, c og f (vi ser bort fra oktavskift) og over den er der to rene kvinter til e og h, hvorved den diatoniske række er fastlagt. Fortsættes ud til begge sider, og ser man stadig bort fra oktavafstanden, så vil 12 kvinter fra en udgangstone give alle 12 toner i den kromatiske skala:

    eb b  f  c  g  d  a  e  h  f# c# g# (d#)

Skalaen strækker sig nu fra eb til d#, der i moderne notation er en og samme tangent, med den gentagne brug af kvinten giver desværre ikke det ønskede resultat. Det kan ses ved at bruge kvintens definition (3:2) på de 12 intervaller, og kompensere for de 6 oktavspring ved at gå en oktav ned når oktaven overskrides (at dele med 2:1, svarer til at gange med 1:2 og det sker 6 gange i løbet af kæden).

    |kvint|kvint|oktav|...|kvint|kvint|oktav|
     (3:2)*(3:2)*(1:2)*...*(3:2)*(3:2)*(1:2) = 2,0273...    Pythagoras komma = 1,36 %

Oktaven er som bekendt 2:1 = 2,0000, så resultatet er for højt og tonen d# havner ikke der hvor eb ligger, faktisk rammer vi en kvart halvtone for højt, og det er for meget til at kunne ignoreres. Det vides ikke om Pythagoras kendte til denne fejl, men eftertiden har navngivet problemet Pythagoras komma.

Af hensyn til spil med andre instrumenter er det bydende nødvendigt at oktaven en ren, ellers kan man ikke spille med instrumenter der ligger i de forskellige oktaver. Konsekvensen er derfor, at mindst en af kvinterne må ofres, og dette er netop kernen i enhver stemning af et instrument.

Syntonisk komma (terts)

Der er dog andre problemer med Pythagoras toneskala, som giver endnu en omgang hovedpine. Vi så før, at en stor terts har intervallet 5:4 = 1,2500, og det skulle gerne svare til fire kvinter. Starter vi fra c så bliver rækken af fire kvinter c-g-d-a-e, og den store terts c-e dannes derfor ved talforholdet 81/64, som det ses af nedenstående regnestykke (hvor vi går en oktav ned for hver to kvinter op):

    |kvint|kvint|oktav|kvint|kvint|oktav|
     (3:2)*(3:2)*(1:2)*(3:2)*(3:2)*(1:2) = 81:64 = 1,2656...    Syntonisk komma = 1,25 %

Det er bare ikke en stor terts, så fire kvinter havner for højt, hvilket kaldes for syntonisk komma eller Didymus' komma, og fejlen er så stor, at tertsen er meget anstrengt at lytte til. Den optræder ganske vist i visse af stemningsprincipperne, men er da henvist til de mere "sjældne tonearter", hvilket i denne forbindelse vil sige, de tonearter man simpelt hen ikke spillede i, så modulationen var kommet langt ud og man skulle hjem igen, og i den forbindelse kunne man godt leve men en lidt anstrengt terts, for det var jo ikke en slutakkord, men blot en gennemgang til slutakkorden.

Den lille terts er også problematisk. En ren lille terts har intervallet 6:5 = 1,2000, og det skulle gerne svare til tre nedagdående kvinter. Starter vi igen fra c så bliver rækken af tre kvinter nedad c-f-b-eb, så den lille terts c-eb dannes ved talforholdet 32:27, som det ses af nedenstående regnestykke (hvor oktavspringene nu går opad):

    |kvint|oktav|kvint|oktav|kvint|
     (2:3)*(2:1)*(2:3)*(2:1)*(2:3) = 32:27 = 1,1851...

Det er mindre end en lille terts, og fejlen er identisk med det syntoniske komma for den store terts blot er den lille terts mindre end ren.

    Store terts: (81:64)/1,25 = 1,0125
    Lille terts: 1,20/(32:27) = 1,0125

Det er en interessant symmetri, men den del af talmystikken må vente.

Konklusion

Der er altså to kommaer, Pythagoras komma på 1,36 % som skyldes kvinterne, og det syntoniske komma på 1,25 % som skyldes tertserne. Der er ikke den store forskel på de to kommaer, selv om de refererer til noget forskelligt, så det er desværre praksis at blande dem sammen til et komma af en lidt udefinerbar størrelse omkring de 1,3 %, hvilket kun bidrager til forvirringen så jeg vil holde mig til den korrekte definition. Vi kan altså summere, at rene kvinter ikke kan sammensættes til en renstemt oktav på grund af Pythagoras komma, og at det syntoniske komma giver for store store tertser og for små små tertser.