Stemning

At et instrument ikke blot spiller de toner det skal, men at det skal intoneres, det vil sige justeres lidt i tonehøjde for at klinge rent, kommer næppe som en overraskelse hvis man har prøvet at spille sammen med andre, fx på blokfløjte. Man bliver hjulpet i gang med oplysninger som "den tone var lidt for lav, prøv med dette her greb", eller man bliver opfordret til at blæse lidt hårdere. Er tonen for høj får man anvisning på at trække fløjten lidt fra hinanden for at sænke tonehøjden. Man lærer simpelt hen at intonere for at få det til at lyde pænt, og øvelse gør mester, så lidt efter lidt korrigerer man selv ved at ændre på blæseteknikken under spillet.

Problemet kommer ved de instrumenter, der kun kan intoneres lidt, dvs. gambe, lut, guitar og klavichord, samt ved de instrumenter der slet ikke kan intoneres under spillet, fx cembalo, orgel, harmonium, klaver og harpe. Ved stemning af eksempelvis en guitar introduceres man for det kompromis, at kvinten og kvarten ikke skal være helt rene. Forklaringen herpå får man sjældent af læreren, blot beskeden om, at sådan er det altså. Lidt efter lidt kommer en intuitiv forståelse. Man erfarer, at hvis kompromisset ikke er vellykket, så er intonationen det heller ikke.

Cembalo og orgel må intoneres ved stemningen af instrumentet, det vil sige inden spillet påbegyndes, og man kan ikke derefter ændre intonationen under selve spillet. Store orgler intoneres af orgelbyggeren, men de små, transportable orgler, orgelpositivet, kan intoneres af orgelspilleren. Som regel stemmes instrumenterne inden koncerten, men en sjælden oplevelse fik jeg en gang, hvor både cembalo og orgelpositiv blev stemt om mellem to værker, med den begrundelse, at de stod i forskellige tonearter. Det er kendt for de fleste at orgler kan stå i en uligesvævende stemning, fx Raphaëlisorglet i Roskilde Domkirke, eller at Compeniusorglet i Frederiksborg Slotskirke står i middeltone, men det er nok de færreste, der ved hvad der menes. Jeg har sågar oplevet, at en professionel musiker, der underviste på aftenskolen ved 250-året for J. S. Bach, ikke kunne svare på netop det spørgsmål fra en af deltagerne. Ved et harmonium er stemningen fastlagt af producenten til den såkaldte ligesvævende stemning, som vi kommer tilbage til senere, og den kan ikke ændres uden et ganske omfattende indgreb i instrumentet. For klaveret er stemningen indstillet på samme måde, og klaverets konstruktion gør en omstemning meget besværlig (og af andre grunde er det heller ikke anbefalelsesværdigt).

I denne artikel vil jeg give en forklaringen på, hvorfor det ovrhovedet er nødvendigt, at sætte et instruments temperatur, og hvad stemningen af et instrument går ud på.

Artiklen er under opbygning og er mit ansvar. Hvor jeg trækker på eksterne kilder angives disse enten ved et link til Wikipedia eller "The New Groove, Dictionary of Music & Musicians" fra 1980, hvor referencer angives som "(Groove Bind-Side)". Hvis du vil rette fejl eller komme med supplerende oplysninger, så er du velkommen til at sende en e-mail til mig. Jeg vil også gerne besvare spørgsmål, i det omfang min viden tillader det (jeg er elektro-akustiker, musikteorien er min hobby).

(c) Tore A. Skogberg, 2008, 2009

Et kort musikhistorisk rids følger umiddelbart nedenfor, for at opsummere musikkens udvikling, og for at vise hvad en toneskala er og hvordan simple akkorder hører sammen. Derefter følger et afsnit om akustik, hvor jeg definerer begrebet lyd og gradvist introducerer den talmystik der ligger bag musikken. Afsnittet om talforhold introducerer selve matematikken bag musikken, og kernen i artiklen, det at temperere et instrument introduceres i det afsnit, der følger umiddelbart nedenfor. Afsnittene om akustik og talforhold er ganske vist en forudsætning for, at forstå baggrunden for hvorfor der skal tempereres, men de kan sagtens springes over, hvis du blot vil hvide hvordan man gør og hvilken konsekvens det har for instrumentets stemning.


Temperering

Det, at stemme et instrument, kaldes at sætte dets temperatur, og det er formålet med dette skrift, at forklare hvad konsekvensen er af handlingen. Forklaringen på hvorfor der skal tempereres findes i den del af skriftet, der ligger under linkene ovenfor, og der følger et ganske kort resume nedenfor.

Musikere og instrumentbyggere er kreative folk, som gennem tiden har udtænkt flere måder at angribe problemerne på. Nedenfor gennemgås et udvalg af de kendte metoder.

Resumé

At temperere et instrument, det er ikke noget man af frivillighedens vej beslutter sig til at gøre - det er noget man er tvunget til, for de musiske intervaller spænder ben for hinanden. Det var man klar over allerede i middelalderen, hvor stemning i rene kvinter viste sig at give et problem. Senere, i renæssancen, var det tertserne der var rene, og det gav et helt nyt problem.

Kommaer

Skal man stemme et instrument, så er det normalt, at skifte mellem kvinter og kvarter. Det gør man uanset om der skal stemmes efter Pytagoras, Middeltone, Valotti eller ligesvævende. En ren kvint svarer til intervallet 3:2 og en ren kvart svarer til 4:3, så en kvint og en kvart giver tilsammen en oktav. Det vises som talforhold ved:

    Kvint Kvart   Oktav
    (3:2)*(4:3) = 2

Det vidste man allerede i den tidligste middelalder (Pythagoras er fra år 500 før Kristus). Man vidste også at en kvint op og en kvart ned gav den store sekund.

    Kvint Kvart   Stor sekund
    (3:2)/(4:3) = 9:8

Med det materiale er det let at "krabbe" sig igennem alle tonerne i oktaven. Kvinten bringer os fra c til g, kvarten ned til d, kvinten op til a og kvarten ned til e, kvinten op til h og kvarten ned til f#, og så videre og efter seks gange kvint op og kvart ned er vi tilbage igen ved starttonen, blot en oktav oppe.

    c   g   d   a   e   h   f#  c#  g#  d#  a#  f   c

Eller rettere, det var ideelt om det gik så vel, men vi skyder desværre lidt over målet.

Pythagoras komma - Kvinterne

Den store sekund er repræsenteret ved intervallet 9:8, og med seks store sekunder kan vi beregne hvordan oktaven kommer til at se ud.

    (9:8)*(9:8)*(9:8)*(9:8)*(9:8)*(9:8) = 2,0273    (1,36 %)

Det skulle have været præcist 2, men seks store sekunder rammer for højt, hvilket kaldes for Pythagoras komma. Fejlen er så stor, at det er nødvendigt med en aktion for at holde oktaven ren.

Det syntoniske komma - Tertserne

Der er også problemer med tertserne, både den store og den lille. En ren stor terts har intervallet 5:4 og tre store tertser skal danne en oktav (fx c-e-g#-c), men det gør de desværre ikke, der mangler lidt i at nå op.

    (5:4)*(5:4)*(5:4)       =  125:64  = 1,9531    (-2,34 %)

Det kaldes for det syntoniske komma, og er det andet problem, der skal findes en løsning på. Der er tilsvarende problemer med den lille terts, men det indfører ikke flere "kommaer". Men to er også nok.


Pythagoras stemning (o. 1450)

Det grundlæggende princip er, at stemme 11 kvinter rene og "ofre" en enkelt kvint, der derved bliver til ulv-kvinten. Umiddelbart skulle man tro, at kvinten blev valgt blandt de "fjerne" kvinter, fx på Db-Ab, men omkring 1450 findes anvisning på at kombinere den ofrede kvint med en fordel. Der skal fire kvinter til at danne en stor terts, og tertserne i Pythagoras-stemningen er meget høje, så en forstemt kvint vil sænke de fire tertser, som kan opbygges omkring ulv-kvinten. Kvinten bliver totalt ubrugeligt og må for enhver pris undgås, men hvis ulv-kvinten fx lægges ved a-e kan tertserne for dur-akkorderne C, G og D stemmes næsten rene i terts og kvint og tilsvarende for mol-akkorderne Em, Hm og F#m. Ulv-kvinten ligger på A-akkorderne, men den store terts a-c# er dog ren.

Ulv-kvinten giver ikke nogen pæn brøk, så jeg vil nøjes med at angive den som en talfaktor. Oktaven skal være ren, ligesom de 11 øvrige kvinter, så ulv-kvinten bliver givet af kravet om oktaven (2-tallet i tælleren) og en kæde af 11 rene kvinter og 6 oktavspring. Konsekvensen på de fire store tertser der indeholder ulv-kvinten beregnes nedenfor, og resultatet er en terts der er 0,11 % mindre end en ren stor terts, og det er i praksis så tæt på, at de færreste vil rynke på næsen. Tilsvarende er der tre små tertser, der bliver 0,11 % større end ren.

    Ulv kvint   = 2/((3:2)*(3:2)*(1:2)*...*(3:2)*(1:2))  = 1,4798...    (-1,36 %)
    Stor terts  = (3:2)*(3:2)*(1:2)*(3:2)*(1,4798)*(1:2) = 1,2485...    (-0,11 %)
    Lille terts = 4/((1,4798)*(3:2)*(3:2))               = 1,2013...    (+0,11 %)

Den resulterende skala er gengivet nedenfor. Alle kvinter er rene på nær ulv-kvinten, som i dette eksempel er placeret på a-e, så akkorderne A og Am bliver ubrugelige, mens der er næsten rene akkorder på C, G, D, Em, Hm og F#m, hvilket ikke er ret meget at arbejde ud fra.

Pythagoras stemning med ulv på A-E
Ren Kvint = 3:2
Stor terts = 5:4
Lille terts = 6:5
Stor sekund = 9:8
Lille sekund = 16:15

Alle intervaller regnes ud fra den anførte grundtone og afvigelsen udtrykkes i procent afvigelse fra det rene interval for kvinter (blå), store tertser (røde) og små tertser (violet). Man kan betragte 1 % som grænsen for kassation af tertser mens kvinten er mere følsom. Desuden vises sekund intervallet (grøn) for at få et overblik over trinstørrelse, med stor sekund for eb-f til a-h og lille sekund for e-f til g#-a.

Som der står i Groove, så har de gamle stemninger sandsynligvis været afarter af Pytagoras stemningen, mest sandsynligt med svagt nedstemte kvinter for at forbedre intervallerne.


Middeltone (o. 1550)

I renæssancen var akkordens vellyd i højsædet, og de store tertser skulle være så rene som overhovedet muligt, så treklangene blev rare at høre på. Det krav blev opfyldt af middeltone-stemningsprincippet, der var meget populært og holdt stand langt op i barokken, indtil den harmoniske udvikling gjorde det bydende nødvendigt at kunne modulere til flere og flere af de "fjerne" tonerarter. Rene tertser forstemmer kvinterne så klangen bliver lidt "sur", men det kan man rette lidt op på ved at temperere tertsen større end ren, så kvinterne stemmes lidt mindre ned end krævet for 1/4 komma middeltone. Den lille forstemning af tertsen er lydmæssigt ikke noget problem; man lever med meget mere i den ligesvævende temperatur, som er næsten uundgåelig i dag. Balancen mellem forstemning af tertsen og kvinten er det valg, der karakterisere den pågældende variant af middeltone, som man er i gang med at sætte. Middeltone er derfor ikke en bestemt måde at stemme et instrument på, men et princip der kan varieres meget og nedenfor vises et udpluk af mulighederne. Det kan virke overvældende med de mange muligheder, men i praksis er det 1/4 komma middeltone og 1/5 komma middeltone, som der refereres til.

Middeltone kan varieres så meget, at resultatet bliver den ligesvævende stemning. Det ville i givet fald hedde "1/11 komma middeltone" idet 1/11 af det syntoniske komma på 1,25 % er 0,1136 %, og det er meget tæt på 1/12 af Pythagoras komma på 1,36 % (0,1133 %).

I det følgende introduceres den grundlæggende filosofi i middeltone med udgangspunkt i 1/4 komma middeltone. De konsekvenser valgene indebærer for den store terts, kvinten, den lille terts og sekunderne i skalaen gennemgås. Derefter vises hvordan en generel middeltone beregnes og et udvalg af de populære anvendelser af princippet vises. Du kan springe direkte til det afsnit, som har interesse, ved at klikke på et af linkene i listen ovenfor.

Store tertser

Middeltonen er baseret på et kompromis, for rene store tertser danner ikke frivilligt en ren oktav. Det ses eksempelvis ved terts-kæden opbygget fra c. Den skulle gerne slutte på h# = c, men tonen h# er for lav, rigtig meget for lav, cirka 1/3 af en halvtone, så det interval er totalt ubrugeligt.

    c-e-g#-h#: (5:4)*(5:4)*(5:4) = 125:64 = 1,9531...    (-2,34 % fra ren oktav)

Når oktaven skal være ren, må en af de store tertser i kæden ofres, og det vil typisk være tertsen på g#, så der bliver to rene store tertser tilbage, c-e og e-g#. Tilsvarende overvejelser må gennemføres for de tre andre terts-kæder startende fra c#, d og d# så der må ialt ofres 4 store tertser, en fra hver af terts-kæderne, for at opnå 8 rene store tertser. En mulig fordeling bliver derfor:

    b-d,  d-f# er rene - og gb-b er meget falsk
    c-e,  e-g# er rene - og ab-c er meget falsk
    eb-g, g-h  er rene - og h-d# er meget falsk
    f-a,  a-c# er rene - og db-f er meget falsk

Det grundlæggende princip i middletone er at stemme 8 store tertser rene og leve med 4 falske store tertser (de er komplet ubrugelige). Fire kvinter danner en terts, så stemningen er en balance mellem forstemning af tertsen og forstemning af kvinterne i kvintkæden der omgiver tertsen. Med udgangspunkt i stemmetonen a kan tonen f stemmes til en ren stor terts under og tonen c# til en ren stor terts over. Det fastlægger så 8 kvinter fra f til c#. Det er sædvane at stemme b og eb på samme måde så der også er rene tertser i Bb-dur og Eb-dur akorderne.

          | ren terts | ren terts |
    eb b  f  c  g  d  a  e  h  f# c# g# (d#)
    | ren terts | ren terts |- for stor -|

Problemet optræder fra h og op. Det er ikke muligt at opnå mere end 8 rene store tertser, så tertsen h-d# bliver for stor og H-dur akkorden bliver ubrugelig, hvilket er et problem ved musikstykker i E-dur, idet overkvinten (dominanten) mangler, og sågar også ved musikstykker i A-dur, idet det her er vekseldominanten der mangler. Tilsvarende bliver F#-dur, C#-dur og G#-dur falske, men det er nok lettere at leve med. Nedadtil er Eb-dur akkorden god, men da den skal kunne bruges som underkvint (subdominant) er Bb-dur den nedre grænse. Man skal derfor ikke regne med at spille i stykker med mere end to faste fortegn, så alt i alt kan man kun forvente at spille i dur-tonearterne Bb, F, C, G og D.

Hvis tonen d# fandtes som separat tangent, ville den store terts fra h til d# kunne stemmes helt rent, men uden delte tangenter er den allerede fastlagt til tonen eb og kan ikke bruges som stor terts i H-dur akkorden. Intervallet er (fortolket som terts):

    h-eb = 2/[(5:4)*(5:4)] = 1,28    (+2,4 % fra ren stor terts)

Det er cirka 1/3 af en halvtone og så meget ved siden af, at intrvallet ikke kan benyttes. I de situationer hvor H-dur akkorden er nødvendig, er man derfor nødsaget til at stemme instrumentet om så eb stemmes ned til d#, eller man må opbygge instrumentet med delt tangent for d#/eb. Tilsvarende problemer kan man komme ud for ved tonen g#, så det kan blive nødvendigt at stemme instrumentet op til ab, eller opbygge instrumentet med delt tangent for g#/ab. Også tangenten f# ses i enkelte instrumenter delt med separate taster for f#/gb. Der findes ganske mange af de gamle cembali og orgler med delte tangenter, men når et sådanne instrument ikke er tilgængeligt, så løses problemet ved et valg inden der stemmes.

Ulven

Når tertsen h til d# ikke kan stemmes rent, men må forstørres ganske væsentligt for at få en brugbar tangent for eb, bliver konsekvensen at kvinten g# til d# bliver for stor. Den bliver cirka en tredjedel af en halvtone for stor, og det lyder så fælt at det interval for enhver pris må undgås. Intervallet kaldes for "ulven" og er karakteristisk for middeltone. Når valget af d#/eb falder ud til fordel for eb så ligger ulven ved g#-d#, og hvis man absolut vil omtyde, så er det ved ab-eb. Der kan med andre ord ikke spilles i Ab-dur på et instrument stemt i middeltone, i det mindste ikke når stemningen tager udgangspunkt i en (næsten) ren terts på f-a. Det er selvfølgelig muligt at vælge et andet udgangsinterval for stemningen, og derved kunne spille i Ab-dur, men det vil ikke være historisk korrekt.

Kvinter

Alle kvinter stemmes ens i middeltone (med undtagelse af ulv-kvinten) og en talværdi skal beregnes for den forstemte kvint. I regnestykket vist nedenfor vil "K" betegne talværdien for de forstemte kvinter. Kravet er, at de danner den store terts på 5:4 og to oktaver (fx c-g-d1-a1-e2). Vi ser, at fire kvinter skal give intervallet 5:1, og det kræver at den enkelte kvint bliver kvadratroden af kvadratroden af 5.

    K*K*K*K = (5:4)*(2:1)*(2:1) = 5  =>  K = 1,4953...    (-0,31 % fra ren kvint)

Den enkelte kvint bliver ganske meget for lav, men i praksis viser det sig, at fejlen kan accepteres, selv om kvint-intervallet er hørbart falsk. Det kræver lidt tilvænning, men det er der jo så meget der gør. Den beregnede værdi svarer til 1/4 komma middeltone og jeg vender tilbage med beregning af kvinten for de andre middeltonestemninger.

Ulven er givet ved kravet om at 12 kvinter op og 6 oktaver ned skal give en oktav. Betegnes den forstemte kvint med "K" og ulven med "U" bliver regnestykket:

    2 = (K*K/2)*(K*K/2)*...*(K*U/2) =>
    U = 4/[(K*K/2)*(K*K/2)*...*K] = 1,5312...    (+2,08 % fra ren kvint)

Det er en temmelig styg ulv, som kun kan mindskes ved at reducere forstemningen af de andre 11 kvinter, og det vender jeg tilbage til senere.

Små tertser

Den lille terts dannes af tre nedadgående kvinter og to opgående oktaver. På grund af stemningens princip er der 9 små tertser opbygget af tre forstemte kvinter og 3 små tertser opbygget af to forstemte kvinter og ulven på g#-eb:

    Lille terts = 4/[(1,4953*1,4953*1,4953] = 1,1962...    (-0,31 % fra ren lille terts)
    Lille terts = 4/[(1,4953*1,4953*1,5312] = 1,1682...    (-2,65 % fra ren lille terts)

De 9 gode af de små tertser er ganske udmærkede, de er i hvert tilfælde bedre end de små tertser i den ligesvævende stemning der benyttes i dag. Derimod er de 3 der inkluderer ulven (g#-eb) overhovedet ikke brugbare. De "farlige" mol akkorder er:

    Ebm: Lille terts = eb-gb = f# => f#-c#-g#-eb
    Bbm: Lille terts = b -db = c# => c#-g#-eb-b
    Fm : Lille terts = f -ab = g# => g#-eb-b-f

Det er tydeligt, at det netop er de tre toner som blev fastlagt af kvintkæden til tonen f# og ikke gb, til tonen c# og ikke db og til tonen g# og ikke ab. Det er samtidig akilleshælen ved middeltone: Det er ikke muligt at omtyde toner i en akkord, som det bruges i den senere musik. Trykker man tangenten for eb ned, så mener man eb og der er ingen som helst tvivl om det kunne være d#.

Store sekunder

Et af middeltonestemningens kendetegn er at alle store sekunder er af ens størrelse, lige med undtagelse af de 2 der inkluderer ulven. Vi så tidligere, at der var to værdier for rene store sekunder: 9/8 = 1,1250 og 10/9 = 1,1111 og middeltone placerer den store sekund præcist i midten af dette interval:

    Stor sekund = K*K/2 = 1,1180...   (-0,62 % fra 9/8 og +0,62 % fra 10/9)
    Stor sekund = K*U/2 = 1,1448...   (+1,76 % fra 9/8 og +3,03 % fra 10/9)

De 2 store sekunder der inkluderer ulven (g#-eb) er ikke gode og indbefatter:

    c#-d#: c#-g#-eb
    g#-a#: g#-eb-b

Igen er der tale om et omtydningsproblem.

Andre middeltonesemninger

Der kan være flere grunde til at benytte en anden forstemning af kvinten end lige netop 1/4 af det syntoniske komma, og der gives eksempler på forskellige forslag i de følgende afsnit. Forstemningen kan beregnes som vist nedenfor hvor den tempererede kvint beregnes ud fra den rene kvint (3:2) minus en brøkdel af det syntoniske komma på 1,25 % og brøkdelen kalder jeg for B, hvor 1/4 komma middeltone har B = 1/4 = 0,25. Beregningen af den tempererede kvint foretages som vist nedenfor:

    K = (3:2)*[1 - 0,0125*B]

    K = 1,4938 (-0,42 %) for B = 1/3.
    K = 1,4946 (-0,36 %) for B = 2/7.
    K = 1,4953 (-0,31 %) for B = 1/4.
    K = 1,4958 (-0,28 %) for B = 2/9.
    K = 1,4963 (-0,25 %) for B = 1/5.
    K = 1,4969 (-0,21 %) for B = 1/6.
    K = 1,4973 (-0,18 %) for B = 1/7.
    K = 1,4979 (-0,14 %) for B = 1/9.
    K = 1,4983 (-0,11 %) for B = 1/11.

Første beregnede værdi er for 1/3 komma middeltone hvor de fire kvinter tilsammen får 4/3 af det syntoniske komma. Det er mere end der behøves, så den store terts forstemmes 1/3 ned og bliver derved for lille (1/3 af 1,25 % eller 0,42 %). Desuden medtages 1/11 komma middeltone, der er identisk med ligesvævende stemning. Den lidt mærkelige værdi skyldes, at 1/11 af det syntoniske komma er næsten lig med 1/12 af det Pythagorenske komma (0,1136 % versus 0,1133 %).

1/3 komma middeltone

En lidt speciel varant er 1/3 komma middeltone, som er beskrevet af Sarlina i 1577. Zarlino omtaler den allerede i 1571 som mindre klangfuld og beskriver den i 1588 som languido (kraftløs og svag) og den har næppe været brugt ret meget (Groove 18-662). Den lille terts er helt ren, til gengæld er den store terts mindre end ren og kvinten er formindsket ganske meget. Den skal dog være let at sætte.

Middeltone med 1/3 syntonisk komma
Ren Kvint = 3:2
Stor terts = 5:4
Lille terts = 6:5
Stor sekund = 9:8
Lille sekund = 16:15

Alle intervaller regnes ud fra den anførte grundtone og afvigelsen udtrykkes i procent afvigelse fra det rene interval for kvinter (blå), store tertser (røde) og små tertser (violet). Man kan betragte 1 % som grænsen for kassation af tertser mens kvinten er mere følsom. Desuden vises sekund intervallet (grøn) for at få et overblik over trinstørrelse, med stor sekund for eb-f til a-h og lille sekund for e-f til g#-a.

De falske intervaller rammer udenfor det 3 % interval, som jeg har valgt at benytte i figuren. Den præcise værdi er uden interesse, nå intervallet er så forstemt, at det overskrider det halve af den lille sekund, for de falske intervaller kan under ingen omstændigheder anvendes.

2/7 komma middeltone

Det matematiske grundlag blev beskrevet af Zarlino i 1558 for en stemning hvor de store tertser er en lille smule mindre end rene, og skal være svært at sætte korrekt (Groove 18-662). Kvinten er både i 1/3 komma middeltone og 2/7 komma middeltone ganske meget forstemt, cirka fire gange så meget som ved ligesvævende stemning, så melodiske forløb med mange kvinter må forventes at lyde noget falsk.

Middeltone med 2/7 syntonisk komma
Ren Kvint = 3:2
Stor terts = 5:4
Lille terts = 6:5
Stor sekund = 9:8
Lille sekund = 16:15

Alle intervaller regnes ud fra den anførte grundtone og afvigelsen udtrykkes i procent afvigelse fra det rene interval for kvinter (blå), store tertser (røde) og små tertser (violet). Man kan betragte 1 % som grænsen for kassation af tertser mens kvinten er mere følsom. Desuden vises sekund intervallet (grøn) for at få et overblik over trinstørrelse, med stor sekund for eb-f til a-h og lille sekund for e-f til g#-a.

1/4 komma middeltone

Denne middeltone-variant har 8 fuldstændig rene store tertser og er forholdsvis enkel at sætte.

Der er gode akkorder for Eb, B, C, Cm, D, Dm, E, Em, F, G, Gm, A, Am, Hm og F#m, mens man skal holde sig langt væk fra H, F#, C# og G# hvor de store tertser er ulidelige, fra Ebm, Bbm og Fm, hvor de små tertser er alt for små, og så har G# desuden en ulv-kvint. Det kan virke lidt "farligt" med alle de faldgrupper, men stemningsprincippet var svært at slå af pinden, simpelthen fordi alle de vigtigste akkorder var næsten helt perfekte, blot man kunne begrænse sine ambitioner til at ligge indenfor grænsen "fra 2 b'er til 2 krydser".

Middeltone med 1/4 syntonisk komma
Ren Kvint = 3:2
Stor terts = 5:4
Lille terts = 6:5
Stor sekund = 9:8
Lille sekund = 16:15

Alle intervaller regnes ud fra den anførte grundtone og afvigelsen udtrykkes i procent afvigelse fra det rene interval for kvinter (blå), store tertser (røde) og små tertser (violet). Man kan betragte 1 % som grænsen for kassation af tertser mens kvinten er mere følsom. Desuden vises sekund intervallet (grøn) for at få et overblik over trinstørrelse, med stor sekund for eb-f til a-h og lille sekund for e-f til g#-a.

Konsekvensen af at omstemme eb til d# ses i nedenstående figur, hvor de eneste ændringer er, at rubrikken yderst til venstre har ændret navn fra "Eb" til "D#", tangenten d# er nu stemt som ren stor terts over h og der er en lille sekund d#-e. Derved flyttes ulven til intervallet d#-b (kvinten d#-a# er ikke brugbar fordi a# ikke forefindes; den hedder b), akkorden på H-dur bliver god og Eb-dur bliver ubrugelig, så der kan ikke længere spilles i Bb-dur. Det er interessant så meget der flyttes ved blot at stemme Eb om til D#.

Middeltone med 1/4 syntonisk komma og D#
Ren Kvint = 3:2
Stor terts = 5:4
Lille terts = 6:5
Stor sekund = 9:8
Lille sekund = 16:15

Alle intervaller regnes ud fra den anførte grundtone og afvigelsen udtrykkes i procent afvigelse fra det rene interval for kvinter (blå), store tertser (røde) og små tertser (violet). Man kan betragte 1 % som grænsen for kassation af tertser mens kvinten er mere følsom. Desuden vises sekund intervallet (grøn) for at få et overblik over trinstørrelse, med stor sekund for b-c til a-h og lille sekund for d#-e samt e-f til g#-a.

Faldgrupperne var ikke noget større problem, for man spillede ikke i stykker med mere end et par faste fortegn. Har man først hørt middeltone, så er det forståeligt hvorfor det tog så lang tid at skifte til de øvrige stemningsprincipper.

2/9 komma middeltone

Den første beskrivelse af 2/9 komma middeltone stammer fra Cyriacus Schneegass i 1590 men fælles for flere referencer er, at den kan være forvekslet med andre afskygninger af 1/4 komma middeltone, hvor den store terts er stemt en anelse højere end ren. Målet har givetvis været at opnå en god klang hvor kvinter og kvarter ikke stødte (svæver) for markant (Groove 18-662).

Middeltone med 2/9 syntonisk komma
Ren Kvint = 3:2
Stor terts = 5:4
Lille terts = 6:5
Stor sekund = 9:8
Lille sekund = 16:15

Alle intervaller regnes ud fra den anførte grundtone og afvigelsen udtrykkes i procent afvigelse fra det rene interval for kvinter (blå), store tertser (røde) og små tertser (violet). Man kan betragte 1 % som grænsen for kassation af tertser mens kvinten er mere følsom. Desuden vises sekund intervallet (grøn) for at få et overblik over trinstørrelse, hvor intervallerne fra eb til a er den store sekund og intervallerne fra e til g# er den lille sekund.

1/5 komma middeltone

Allerede i 1533 foreslås stemningsprincipper, der minder om 1/5 komma middeltone hvor de store tertser er en smule større end rene (Groove 18-662). En matematisk analyse (som ikke skal gengives her) viser, at den store terts, kvarten og kvinten vil støde (svæve) nogenlunde lige hurtigt ved 1/5 komma middeltone, hvilket kan være argumentationen for, at den omtales ofte i literaturen. Det kan samtidig være en nøgle til at sætte instrumentets temperatur, for intervallerne i kvintkæden f-c-g-d-a og tertsen f-a skal sættes til samme svævning. Tilsvarende skal intervallerne i kvintkæden a-e-h-f#-c# og tertsen a-c# sættes til samme svævning. Resten af tonerne stemmes som store tertser med samme svævning som de tilhørende intervaller.

Der er gode akkorder for Eb, B, C, Cm, D, Dm, E, Em, F, G, Gm, A, Am, Hm og F#m, mens man skal holde sig langt væk fra H, F#, C# og G# hvor de store tertser er ulidelige, fra Ebm, Bbm og Fm, hvor de små tertser er alt for små, og så har G# desuden en ulv-kvint.

Middeltone med 1/5 syntonisk komma
Ren Kvint = 3:2
Stor terts = 5:4
Lille terts = 6:5
Stor sekund = 9:8
Lille sekund = 16:15

Alle intervaller regnes ud fra den anførte grundtone og afvigelsen udtrykkes i procent afvigelse fra det rene interval for kvinter (blå), store tertser (røde) og små tertser (violet). Man kan betragte 1 % som grænsen for kassation af tertser mens kvinten er mere følsom. Desuden vises sekund intervallet (grøn) for at få et overblik over trinstørrelse, hvor intervallerne fra eb til a er den store sekund og intervallerne fra e til g# er den lille sekund.

Strengt taget skal intervallerne ikke svæve lige meget, de dybe af intervallerne skal svæve langsommere end de højre, men det gør ikke den store forskel da stemningen typisk foregår alternerende i kvinter og kvarter indenfor det samme, begrænsede toneområde.

1/6 komma middeltone

Eneste referencer jeg kender til 1/6 komma middeltone er fra Romieu, der i 1758 skriver at han foretrækker dens temperede kvinter og tertser, og Giordano Riccati, der i 1762 beskriver den matematiske sammenhæng (Groove 18-666).

Middeltone med 1/6 syntonisk komma
Ren Kvint = 3:2
Stor terts = 5:4
Lille terts = 6:5
Stor sekund = 9:8
Lille sekund = 16:15

Alle intervaller regnes ud fra den anførte grundtone og afvigelsen udtrykkes i procent afvigelse fra det rene interval for kvinter (blå), store tertser (røde) og små tertser (violet). Man kan betragte 1 % som grænsen for kassation af tertser mens kvinten er mere følsom. Desuden vises sekund intervallet (grøn) for at få et overblik over trinstørrelse, hvor intervallerne fra eb til a er den store sekund og intervallerne fra e til g# er den lille sekund.

1/7 komma middeltone

Jeg har ikke reference til 1/7 komma middeltone, men stemningen er absolut mulig og de store tertser vil ikke være mere anstrengte end for fx Valotti, dog er der stadig en ulv på tonen g#.

Middeltone med 1/7 syntonisk komma
Ren Kvint = 3:2
Stor terts = 5:4
Lille terts = 6:5
Stor sekund = 9:8
Lille sekund = 16:15

Alle intervaller regnes ud fra den anførte grundtone og afvigelsen udtrykkes i procent afvigelse fra det rene interval for kvinter (blå), store tertser (røde) og små tertser (violet). Man kan betragte 1 % som grænsen for kassation af tertser mens kvinten er mere følsom. Desuden vises sekund intervallet (grøn) for at få et overblik over trinstørrelse, hvor intervallerne fra eb til a er den store sekund og intervallerne fra e til g# er den lille sekund.

1/9 komma middeltone

Jeg har ikke reference til 1/9 komma middeltone, men stemningen er absolut mulig og vil være "sidste mulighed før ligesvævende stemning". Ulven på tonen g# er så lille, at den næppe generer, men der er heller ikke meget tilbage af middeltonen.

Middeltone med 1/9 syntonisk komma
Ren Kvint = 3:2
Stor terts = 5:4
Lille terts = 6:5
Stor sekund = 9:8
Lille sekund = 16:15

Alle intervaller regnes ud fra den anførte grundtone og afvigelsen udtrykkes i procent afvigelse fra det rene interval for kvinter (blå), store tertser (røde) og små tertser (violet). Man kan betragte 1 % som grænsen for kassation af tertser mens kvinten er mere følsom. Desuden vises sekund intervallet (grøn) for at få et overblik over trinstørrelse, hvor intervallerne fra eb til a er den store sekund og intervallerne fra e til g# er den lille sekund.


Valotti (o. 1750)

Kan kort beskrives som en mellemting mellem Pythagoras og middeltone. Princippet er lige så enkelt som det er genialt. Seks af kvinterne stemmes rent og de øvrige seks kvinter forstemmes til samme grad af svævning. Matematikken er løsning af ligningen nedenfor hvor K er en ren kvint og F er en forstemt kvint. Tilsammen skal de give 7 oktaver og det kræver at forstemningen er på 0,23 %. Det er ikke ret meget, mindre end forstemningen ved middeltone, men effekten af forstemningen er ganske betydelig.

    K6F6 = 27
    K = 1,5000
    F = 1,4966 (-0,23 %)

De kvinter der typisk forstemmes er F-C, C-G, G-D, D-A, A-E og E-H med resten stemt rent, men det er ikke et krav og rækken kan ændres for at passe til andre behov. Betydningen for den store terts er vist nedenfor, som afvigelsen i procent fra den rene terts. Til sammenligning er den ligesvævende terts 0,8 % større end ren, så hovedparten af akkorder har mindre forstemning af tertsen end ved den ligesvævende stemning.

Kvinter      Ab  Eb  Bb  F   C   G   D   A   E   H   F#  C#  G# (D#  A#  E#)
Terts fra Ab ¦--   1,02 %  --¦
Terts fra Eb     ¦--   0,79 %  --¦
Terts fra Bb         ¦--   0,57 %  --¦
Terts fra F              ¦--   0,34 %  --¦
Terts fra C                  ¦--   0,34 %  --¦
Terts fra G                      ¦--   0,34 %  --¦
Terts fra D                          ¦--   0,57 %  --¦
Terts fra A                              ¦--   0,79 %  --¦
Terts fra E                                  ¦--   1,02 %  --¦
Terts fra H                                      ¦--   1,25 %  --¦
Terts fra F#                                         ¦--   1,25 %  --¦
Terts fra C#                                             ¦--   1,25 %  --¦

Resultatet skal forklares: En stor terts dannes ud fra en kæde af fire kvinter, for eksempel er tertsen H-D# dannet af kvintkæden H-F#-C#-G#-D#. Med fire rene kvinter bliver resultatet 1,5 x 1,5 x 1,5 x 1,5 = 5,0625 og inkluderer to oktaver. Piller vi oktaverne ud bliver tertsen T = 5,0625 / 4 = 1,2656 svarende til 1,25 % over den rene terts på 5/4 = 1,2500. Det er en meget stor terts, lig med tertsen i Pythagoras, og ikke anvendelig til ret meget på grund af dens meget anstrengte lyd. Flyttes grundtonen ned til E, så bliver den ene af kædens kvinter forstemt (det er E-H) hvilket mindsker tertsen E-G#. Den dannes nu af tre rene kvinter og en forstemt kvint T = 1,5 x 1,5 x 1,5 x 1,4966 / 4 = 1,2628 hvilket er 1,02 % over en ren terts. Det er større end den ligesvævende terts (på 0,79 %), men på grænsen til det udholdelige. Flytter vi nu grundtonen ned til A, så er der to forstemte kvinter og tertsen bliver T = 1,5 x 1,5 x 1,4966 x 1,4966 / 4 = 1,2599 eller 0,79 % over den rene terts og lig med den ligesvævende temperatur. Flyttes grundtonen endnu et trin ned til D, så er der tre forstemte kvinter og tertsen bliver T = 1,5 x 1,4966 x 1,4966 x 1,4966 / 4 = 1,2570 eller 0,57 % over den rene terts. Flytter vi endelig grundtonen ned til G, så er der fire forstemte kvinter og tertsen bliver T = 1,4966 x 1,4966 x 1,4966 x 1,4966 / 4 = 1,2542 eller 0,34 % over den rene terts, hvilket svarer nogenlunde til 1/5 komma middeltone og tertserne har samme kvalitet for grundtone på C og F. Rykker vi ned til Bb, så bliver den ene kvint ren og fejlen stiger igen til 0,57 %, og så videre op til fejlen på 1,25 %.

Konklusionen bliver at akkorder tæt på C, det vil sige med ingen eller kun få faste fortegn, har særdeles vellydende store tertser, hvorimod akkorder i tonearter med et større antal faste fortegn får mere anstrengte store tertser. Helt ude i kvintcirklens "fjerne ende" hvor der er mange faste fortegn er de store tertser overordentlig anstrengte. Tonearterne får derfor et præg, der afhænger af hvor mange faste fortegn der er. I princippet kan alle tonearter spilles i Valotti, men det kommer til at skurre i ørene når der er mange fortegn.

Valotti

Alle intervaller regnes ud fra den anførte grundtone og afvigelsen udtrykkes i procent afvigelse fra det rene interval for kvinter (blå), store tertser (røde) og små tertser (violet). Man kan betragte 1 % som grænsen for kassation af tertser mens kvinten er mere følsom. Desuden vises sekund intervallet (grøn) for at få et overblik over trinstørrelse, hvor intervallerne fra eb til a er den store sekund og intervallerne fra e til g# er den lille sekund.


Ligesvævende (o. 1850)

De tidligste referencer til ligesvævende stemning er fra 1530 hvor Willaert benytter omtydningen (enharmonik) i sine kompositioner, over 1630 hvor Frescobaldi støtter dens brug, og via 1737 hvor Rameau anbefaler stemningen til 1802 hvor Turk gentager Rameaus argumentation (Groove, 18-670). Min placering af den ligesvævende stemning som startende omkring 1850 er derfor en tilsnigelse, men begrundes med at der først var behov for stemningsprincippet noget efter barokken. Det var vel især Wienerklassikerene der først udforskede mulighederne og derfor var nød til at kunne omtyde akkordtonerne.

Det hævdes undertiden, at strengeinstrumenter med bånd (lut og gambe) ikke kan stemmes i andet end ligesvævende. Begrundelsen er, at båndene deles af flere strenge og derfor må placeres som et kompromis, og det skal så give en ligesvævende stemning. Jeg tvivler stærkt på, at det er korrket, for jeg har på en udstilling set en lut beregnet for middeltonestemning, jeg ser jævnligt gambespillere flytte rundt på båndene for at intonere, jeg ved, som (amatør-) guitarspiller, at man let ændrer på tonehøjden blot ved at vippe lidt med fingren bag båndet, og alle moderne rock-guitarister excellerer med glidende intonationer i deres solistiske indslag. De iagttagelser er desuden på linie med hvad datidens musikteoretikere anfører (Groove 18-671).

Matematik

Rent matematisk, så deles oktaven i 12 lige store propertioner, den lille sekund. Proportionen, det vil sige forholdet mellem to toner i halvtoneafstand, er et tal der giver 2 når det ganges sammen tolv gange. Det giver talværdien 1,05946, når det skrives som uendelig decimalbrøk, og det er 0,7 % mindre end den rene stemnings 16/15 = 1,06666. Tallet angiver at frekvensen stiger til 1,05946 gange udgangstonens frekvens, det vil sige en stigning på 0,05946 gange udgangstonens frekvens. For a1 = 440 Hz bliver næste tone derfor 466 Hz og stigningen fra a1 til a#1 er på 26,2 Hz.

En halvtone svarer til 5,9 %.

Den store sekund bliver så to af disse intervaller, det vil sige 1,12246, som er noget mindre end Pythagoras sekund på 9:8 = 1,125 men noget større end den anden mulighed 10:9 = 1,1111. Det er ikke kendetegnet for den ligesvævende stemning, at den kan udtrykkes matematisk, det er at alle intervaller af samme navn har samme proportion uanset fra hvilken tone der startes. En stor sekund er 1,12246 uanset om der spilles c-d eller c#-d#.

Beregning

Det er muligt at beregne frekvensen af enhver tone i skalaen når der startes fra en kendt tone, fx kammertonen (stemmetonen) a1 = 440 Hz. Et interval med n halvtonetrin overfor kammertonen bliver:

    fn = f0 2n/12

Med det værktøj kan intervallerne beregnes. Nogle eksempler:

    Lille terts (n = 3): 1,1892  -  a1 = 440 Hz giver c3  = 1,1892*(440 Hz) = 523 Hz
    Store terts (n = 4): 1,2599  -  a1 = 440 Hz giver c#3 = 1,2599*(440 Hz) = 554 Hz
    Kvart       (n = 5): 1,3348  -  a1 = 440 Hz giver d3  = 1,3348*(440 Hz) = 587 Hz
    Kvint       (n = 7): 1,4983  -  a1 = 440 Hz giver e3  = 1,4983*(440 Hz) = 659 Hz

Musikteori

Den musikteoretiske betydning af den ligesvævende stemning er ganske væsentlig, idet den åbner for en verden af muligheder. Når intervallerne ikke afhænger af en toneskala, som fx ved middeltone, men altid har samme størrelse, så kan en komponsition lige vel stå i C-dur som i C#-dur. Rent spilleteknisk er der forskel, men harmonierne lyder ens, når der bortses fra halvtone-transponeringen, som mange af os alligevel ikke kan høre. Det giver komponisterne (og musikerene) mulighed for at flytte rundt på harmonierne, og det blev udforsket først i Wienerklassikken, derefter i den romantiske musik og senere i den mere atonale musik.

Oversigt

Der er ikke meget at se på kurven over intervallerne. Alle intervaller er lige store hen igennem toneskalaen, så det bliver blot til nogle rette linier. Det er styrken i den ligesvævende stemning, men også svagheden. Friheden til at modulere rundt i kvintcirklen giver ikke preference for nogen toneart, så en musisk spænding må opbygges på anden vis end ved antallet af faste fortegn.

ligesvævende

Alle intervaller regnes ud fra den anførte grundtone og afvigelsen udtrykkes i procent afvigelse fra det rene interval for kvinter (blå), store tertser (røde) og små tertser (violet). Man kan betragte 1 % som grænsen for kassation af tertser mens kvinten er mere følsom. Desuden vises sekund intervallet (grøn) for at få et overblik over trinstørrelse, hvor intervallerne fra eb til a er den store sekund og intervallerne fra e til g# er den lille sekund.


Sammenfatning

Nedenfor følger en oversigt over visse af stemningsprincipperne med afvigelsen fra ligesvævende stemning udtrykt i cent.

Tone Pythagoras Middeltone 1/4 Middeltone 1/5 Valotti
G#-14-17-162
C#-16-14-140
F#-18-10-8-2
H-20-7-5-4
E2-3-5-2
A0000
D-2332
G-4754
C-61086
F-814118
Bb-1017146
Eb-1221164